Математикалық маятник туралы қазақша

Үшін проинтегрировать теңдеу (17), табу керек квадратуру сол жақ бөлігінде. Бұл үшін көшсек, ( жаңа ауыспалы (, актілерінде:
[pic] [pic]. (18)
Сонда
[pic],
қайдан
[pic].
Сонымен қатар,
[pic].
Подставляя барлық осы шамалар теңдеу (17) және заменяя ( оның мәні (3), аламыз:
[pic]. (19)
Қабылданған бастапқы шарттары (15) t=0 бұрышы (=0, демек, көрініп тұрғандай (18) және (=0. Сонда, беря екі бөлімнен теңдеулер (19) белгілі бір интегралдар оң жағында 0-ден t, ал сол жағынан 0-ден (аламыз, заң маятнигінің түрінде
[pic]. (20)
Интеграл тұрған сол жақ бөлігінің тепе-теңдік (20), білдіреді эллиптический бірінші текті интеграл. Шамасы k деп аталады модулімен эллиптикалық интеграл. Бұл интеграл бар функция шегін және модуль, т. е.
[pic]. (21)
Егер теңдігі (21) қарауға жоғарғы шегі ( функциясын жылғы интеграл u, онда мұндай функция деп аталады амплитудасы u және белгіленеді:
[pic],
немесе
[pic]. (22)
Беря екі бөлімнен теңдік (22) синус, біз аламыз:
[pic]. (23)
Функция snu (синус-амплитудасы u) білдіреді аталатын өлшемді эллиптическую функциясын Якоби. Өйткені, сәйкес теңдеуі (20), [pic], онда, көше отырып тепе-тең (23) (( көмегімен формуланы (18), табамыз заң маятнигінің, айқын эллиптическую функциясын sn түрінде
[pic]. (24)
Тербеліс периоды
Табамыз T кезеңіндегі маятниктің тербелісі. Ереженің ( = 0 ( =
(0 маятник келеді тоқсан кезең. Осы теңдікке (18), ( = 0 ( = 0, ал ( = (0 шамасы [pic], онда теңдеу (20) иеміз:
[pic]. (25)
Осылайша, анықтау кезеңі маятниктің тербелістерінің азайтатын шамасын есептеу
[pic], (26)
білдіретін тоқсан кезеңнің эллиптикалық интеграл (21).
Белгілі формуласы Валлиса)
[pic]. (27)
Разлагая бұл көріністе (26) подынтегральную функцияны қатар, аламыз:
[pic].
Содан кейін, пайдалана отырып, формула (27), ие боламыз:
[pic].(28)
Подставляя бұл мән K теңдігі (25) ескере отырып,
[pic],
аламыз кезең үшін тербеліс жазық математикалық маятниктің білдіру
[pic]. (29)
Демек, көп (0 (бұрышы размаха), көп кезеңде маятниктің тербелісі. Осылайша, математикалық маятник қасиеті изохронности ие емес. Егер шағын мөлшерде шектелуі формула
(29) тек екі бірінші мүшелері, онда актілерінде [pic] аламыз, жақын білдіру кезеңі
[pic]. (30)
Қорытындылар
Алынған теңдеу қарапайым гармониялық тербелістер заңы, қозғалыс үшін шағын ауытқу, заокн маятнигінің арқылы эллиптическую опцияны таңдаңыз.
Алынған білдіру үшін кезең маятниктің тербелістерінің.
Әдебиет
Бухгольц Н.Н. Негізгі теориялық механика. М.: Наука. 1969.
Бурабай А., Херувимов А. Тербелістер мен маятниктер. Ж. Квант. № 8, 1981.