Конус туралы реферат мәлімет қазақша

Конустар.
Конус дегеніміз – бетін, тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады алгебраическими уравнениями екінші дәрежелі.
1. Эллипсоид.
Эллипсоидом беті деп аталады, ол белгілі бір тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады уравнением:
(1)
Теңдеу (1) деп аталады каноникалық уравнением эллипсоида.
Орнату алатындарыңыз геометриялық түрі эллипсоида. Үшін осы қарастырайық қимасының осы эллипсоида жазықтықтармен, параллель жазықтықта Окси. Әрбір осындай жазықтықтың анықталады уравнением түрін z=h, мұндағы h – кез-келген сан, ал желісі, ол сонда қимада анықталады екі уравнениями
(2)
Зерттеп теңдеулер (2) әртүрлі мәндерінде h.
1) Егер > c (c>0) болса, онда теңдеу (2) анықтайды алдамшы эллипс, т. е. нүкте қиылысатын жазықтықта z=h осы эллипсоидом жоқ.
2) Егер болса , онда сызық (2) вырождается нүктесіне (0; 0; + c) (0; 0; — c) (жазықтықта қатысты эллипсоида).
3) Егер болса , онда теңдеу (2) түрінде көруге болады

қайдан бұл жазықтық z=h кесіп эллипсоид бойынша эллипсу с полуосями және . Азайту кезінде маңызы бар қаланың және артады жетуде ең мәндері кезінде , яғни қимасында эллипсоида координаталық жазықтығы Oxy сонда ең үлкен эллипс полуосями және .
Осындай жағдай сонда мен қиылысқан кезде осы бетінің жазықтықтармен, параллель координаттық жазықтықта Oxz жəне Oyz.
Осылайша, қаралған қимасының мүмкіндік береді бейнелейді, эллипсоид ретінде тұйықталған жасалып, дөңгелек беті (сур. 156). Шама a, b, c деп аталады полуосями эллипсоида. Егер a=b=c эллипсоид сала болып табылады.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом беті деп аталады, ол белгілі бір тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады уравнением
(3)
(3) теңдеу деп аталады каноникалық уравнением однополосного гиперболоида.
Орнату алатындарыңыз түрі бетінің (3). Үшін осы қарастырайық қимасы оның координатными жазықтықтармен Oxy (y=0) және Oyx (x=0). Аламыз, тиісінше, теңдеу
және
қажет қималарда өнімділігі гиперболы.
Енді қарастырайық қимасының осы гиперболоида жазықтықтың z=h, параллель координаталық жазықтықта Окси. Сызық получающаяся қимада анықталады уравнениями
немесе (4)
қажет жазықтығы z=h кесіп гиперболоид бойынша эллипсу с полуосями ,
достигающими өзінің ең аз мәнін h=0, т. е. қимада осы гиперболоида координаталық осі Oxy яғни ең кішкентай эллипс полуосями a*=a және b*=b. Кезінде бесконечном ұлғайған шамасын a* b* өсуде шексіз.
Осылайша, қаралған қимасының мүмкіндік береді бейнелеп однополосный гиперболоид түрінде шексіз түтіктер, шексіз расширяющейся жою шаралары бойынша (екі жағы) Oxy жазықтығынан.
Шама a, b, c деп аталады полуосями однополосного гиперболоида.
3. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом беті деп аталады, ол белгілі бір тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады уравнением
(5)
Теңдеу (5) деп аталады каноникалық уравнением двуполостного гиперболоида.
Орнату алатындарыңыз геометриялық түрі бетінің (5). Үшін осы қарастырайық оның қимасының координатными жазықтықтармен Окси және Oyz. Аламыз, тиісінше, теңдеу
және
қажет қималарда өнімділігі гиперболы.
Енді қарастырайық қимасының осы гиперболоида жазықтықтың z=h, параллель координаталық жазықтықта Окси. Желісі алынған қимада анықталады уравнениями
немесе (6)
қажет кезінде >c (c>0) жазықтығы z=h кесіп гиперболоид бойынша эллипсу с полуосями және . Ұлғайған кезде шаманың a* b* да артып келеді.
Кезде теңдеулер тақырыптары қарастырылады (6) қанағаттандыратын координаттары ғана екі нүкте: (0;0;+с) және (0;0; -) (жазықтықта қатысты осы бетінің).
Кезде теңдеулер (6) анықтайды алдамшы эллипс, т. е. нүкте қиылысатын жазықтықта z=h осы гиперболоидом жоқ.
Шамасы a, b және c аталады полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид.
Эллиптикалық параболоидом беті деп аталады, ол белгілі бір тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады уравнением

(7)
мұндағы p>0, q>0.
Теңдеу (7) деп аталады каноникалық уравнением эллиптикалық параболоида.
Қарастырайық қимасының осы бетінің координатными жазықтықтармен Окси және Oyz. Аламыз, тиісінше, теңдеу
және
қажет қималарда өнімділігі үш еселі интегралдар, симметриялық осіне Oz, вершинами басында координаттар.
Енді қарастырайық қимасының осы параболоида жазықтықтың z=h, параллель координаталық жазықтықта Окси. Сызық получающаяся қимада анықталады уравнениями
немесе (8)
қажет кезінде жазықтық z=h кесіп эллиптический параболоид бойынша эллипсу с полуосями және . Ұлғайған кезде h шамалар a және b-де ұлғаяды; h=0 эллипс вырождается нүктесі (жазықтығы z=0 қатысты осы гиперболоида). H<0 теңдеу (8) анықтайды алдамшы эллипс, т. е. нүкте қиылысатын жазықтықта z=h осы гиперболоидом жоқ.
Осылайша, қаралған қимасының мүмкіндік береді бейнелеп эллиптический параболоид түрінде шексіз дөңес тостаған.
Нүктесі (0;0;0) деп аталады шарықтау шегі параболоида; санын p және q – оның параметрлері.
Егер p=q теңдеу (8) анықтайды шеңбер орталығы осіне Oz, т. е. эллиптический параболоид ретінде қарастыруға болады беті құрылған айналдыру арқылы үш еселі интегралдар оның айналасында ось (айналу параболоид).
5. Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом беті деп аталады, ол белгілі бір тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады уравнением
(9)
мұндағы p>0, q>0.
Теңдеу (9) деп аталады каноникалық уравнением гиперболалық параболоида.
Қарастырайық қимасы параболоида жазықтықта Oxz (у=0). Аламыз теңдеуі
(10)
қажет қимасында яғни парабола, бағытталған жоғары, симметриялық осіне Oz, шарықтау шегі басында координаттар. Қималарда бетінің жазықтықтармен, параллель жазықтықта Oxz (y=h), өнімділігі де бағытталған жоғары үш еселі интегралдар.

қарастырайық қимасы осы параболоида жазықтықпен Oyz (х=0).
Аламыз теңдеуі

қажет және бұл жағдайда қимада яғни парабола, бірақ қазір бағытталған төмен, симметриялық осіне Oz, шарықтау шегі басында координаттар. Қарап қимасының параболоида жазықтықтармен, параллель жазықтықта Oyz (х=h), теңдеуін аламыз

қажет кезінде кез-келген h қимасында яғни парабола, төмен бағытталған, ал оның шыңы жүктеледі параболе, белгілі бір уравнениями (10).
Қарастырайық қимасының параболоида жазықтықтың z=h, параллель жазықтықта Окси . аламыз теңдеулер
немесе
қажет кезінде h>0 қиындысы алынады гиперболы, қиылысатын жазықтығы Oxy кезде; h<0 – гиперболы, қиылысатын жазықтықта Oyz; h=0 – гипербола вырождается » екі қиылысатын түзу
және
нүктесі (0;0;0) деп аталады шарықтау шегі параболоида; санын p және q – оның параметрлері.
6. Конус екінші ретті.
Конусом екінші ретті беті деп аталады, ол белгілі бір тік бұрышты координаттар жүйесінде анықталады уравнением
(11)
Қарастырайық геометриялық қасиеттері конустың. Қима осы бетінің жазықтығы Oxy (y=0) аламыз желі

распадающуюся екі қиылысатын түзу
және
Осыған ұқсас қимасында конустың жазықтықпен Oyz (х=0), сондай-ақ өнімділігі екі қиылысатын түзу
және
Қарастырайық қима бетінің жазықтықтың z=h, параллель жазықтықта Окси. Аламыз
немесе
қажет кезінде h>0 және h<0 қималарда өнімділігі эллипсы с полуосями . Ұлғайту кезінде абсолютті шамасын h жарты ось a*, b*, сондай-ақ артып келеді.
Кезде h=0 қиылысу сызығы жер бетінің жазықтығы z=h вырождается нүктесі (0;0;0).